Fraktalgeometrie

Fraktalgeometrie,

 

fraktale Geometrie, von Benoȋt B. Mandelbrot 1975 eingeführte Geometrie, die sich im Gegensatz zur euklidischen Geometrie nicht mit »einfachen« Formen (Gerade, Kreis, Würfel u. a.) befasst, sondern mit bestimmten komplexen Gebilden und Erscheinungen (Fraktalen), wie sie ähnlich auch in der Natur vorkommen (z. B. das Adernetz der Lungen, die Oberfläche von Gebirgen, eine Küstenlinie, Luftwirbel). Ein Fraktal besitzt folgende Eigenschaften: 1) Selbstähnlichkeit, d. h., jeder noch so kleine Ausschnitt ähnelt bei entsprechender Vergrößerung dem Gesamtobjekt; z. B. zeigt ein vergrößerter Ausschnitt einer Küstenlinie immer noch die Merkmale einer Küstenlinie im Gegensatz zu den »klassischen« geometrischen Objekten (z. B. ähnelt eine Kreislinie bei stärkerer Vergrößerung immer mehr einer Geraden); 2) gebrochene (fraktale) Dimension; z. B. liegt die Dimension der Oberfläche eines Gebirges zwischen 2 (der einer Ebene) und 3 (der eines Körpers), die der Schneeflockenkurve (Koch-Kurve) zwischen 2 und 1 (der einer Geraden). Die Fraktalgeometrie gewann dadurch an Bedeutung, dass man mit ihrer Hilfe viele komplexe Naturerscheinungen mathematisch modellieren und am Computer simulieren kann; insbesondere zeigt ein dynamisches System chaotisches Verhalten, wenn es ein Fraktal als Attraktor hat, d. h. als Menge aller Punkte seines Phasenraumes, denen das System aus beliebigen Anfangssituationen zustrebt.

 

Literatur:

 

H.-O. Peitgen u. P. H. Richter: The beauty of fractals (Berlin 1986);

 B. B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur (a. d. Engl., Neuausg. 1991).

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Frak|tal|ge|o|me|trie, die (Math.): Geometrie, die sich mit den Fraktalen befasst u. mit deren Hilfe z. B. komplexe Naturerscheinungen mathematisch erfasst u. am Computer simuliert werden können.